Desde hace un tiempo dirijo una sección que se difunde tanto en el canal de divulgación científica de Youtube «Date un Vlog» del Dr. Javier Santaolalla (al que recomiendo que os subscribáis, aunque seguro que ya lo estáis) como en el canal de mi academia (Academia Barceló), más modesto pero que está empezando a hacer sus pinitos. Esta sección, que consiste en un vídeo mensual, plantea un reto físico-lógico-matemático; son los Retos Barceló (es solo mi apellido, nada que ver con el ron).
En el reto 2 se planteó un problema de continuación de una sucesión y que, dado que fue un éxito con más de 500 respuestas recibidas, quiero aprovechar para contaros. El reto, lejos de ser un mero ejercicio matemático, plantea una serie de cuestiones que se relacionan con la semántica, la lógica, la filosofía de las matemáticas, la filosofía de la mente, los test de inteligencia y hasta los crímenes en serie. El enunciado del reto era el siguiente:
¿Cuál puede ser el siguiente término de esta sucesión?
1, 2, 6, 42, 1.806, ¿?
Llegados a este punto os animo a que paréis la lectura y reflexionéis un momento sobre cuál podría ser la solución.
¿Ya? Veamos. Para entender la solución comenzaremos analizando la siguiente sucesión:
1, 2, 4, 8, 16, ¿?
A la mayoría de vosotros, por no decir al 99,99%, se os habrá venido a la cabeza el 32. Estamos ante una sucesión en la que cada término parece surgir de multiplicar el término anterior por 2. Pero, ¿qué pensaríais si os dijese que el siguiente término es … ¡31!?
Veamos como justificarlo. Dibujemos un círculo y escojamos dos puntos de la circunferencia unidos por un segmento, ¿en cuántas partes ha quedado dividido el círculo? Originalmente teníamos un círculo completo y, tras este primer paso, tenemos un círculo dividido en dos partes.
Si ahora elegimos otro punto y lo unimos con los anteriores obtenemos 4 partes. Otro más y obtenemos 8.
Seguimos con el proceso y obtenemos 16.
Pero, ¿qué pasa si añadimos un punto más? Pues que no surgen 32 partes, sino ¡31! A contar se ha dicho.
Hay quien podrı́a pensar que esta forma de justificar la secuencia de números es más «enrevesada» que la de multiplicar por 2. Sin embargo, con los círculos solo tenemos que saber contar, una operación más básica, si se quiere, que la de multiplicar. Por tanto, el sentido estético, la sencillez, etcétera, parecen no ser una guía fiable a la hora de encontrar la lógica de una sucesión.
Y viendo que hay dos justificaciones igualmente válidas para esta sucesión, ¿quién nos asegura que no hay más? Podríamos, por ejemplo, dar una justificación que fuese: «los cinco primeros términos son 1, 2, 4, 8, 16, y a partir de ahí todos cero”. Os puede parecer absurda pero es igualmente válida. Por tanto, parece que no hay forma de tener suficiente información para justificar la sucesión de forma única.
Centrémonos ahora en la sucesión numérica del reto y analicemos algunas de las posibles soluciones (sabiendo ya que cualquiera podría ser igualmente válida, incluso algunas que podrían parecer absurdas, si se quiere):
1, 2, 6, 42, 1.806, ¿?
La respuesta mayoritaria, y seguramente la primera que habéis pensado, fue: 3.263.442. Este resultados puede obtenerse de diferentes maneras, aunque todas ellas son equivalentes (hay más de las que indico):
- Multiplicar cada número por su siguiente.
- Elevar cada término al cuadrado y sumarle dicho término.
donde
representa la posición del término de la sucesión que queremos hallar.
Sin embargo, esta no fue la única respuesta recibida. Otra respuesta mayoritaria fue 3.270.666, que se obtiene utilizando como lógica multiplicar cada término por su siguiente número primo. En el caso del 1, su siguiente número primo es el 2, del 2 es el 3, del 6 el 7, del 42 el 43, pero del 1.806 no es el 1.807, que no es primo (es 13 * 139), sino el 1.811. Por tanto, utilizando esta lógica, la respuesta sería 1.806 * 1.811 = 3.270.666.
Otra posible solución, esta vez muy minoritaria, fue: 1.117.914. Como comentamos en la primera solución, cada término aparecía multiplicando el anterior por su siguiente (o por su siguiente número primo, según la segunda solución aportada en este documento, pues hasta 1806 ambas formulaciones son coincidentes). Estos multiplicadores son (2, 3, 7 y 43), cuya diferencia entre dos términos consecutivos es, respectivamente, (1, 4 y 36), que a su vez coinciden con los cuadrados de (1, 2 y 6), los cuales se pueden escribir como (1!, 2! y 3!)1.De esta forma, la fórmula para estos multiplicadores sería:2,3
Veamos el resultado de aplicar dicha fórmula:
Otra solución bastante original y que arroja como resultado 2.940.042 es:
En este caso hemos ido componiendo números con los términos de la sucesión, dividiéndolos por fracciones formadas a partir de los dos términos anteriores al término considerado para hallarlo.
De entre las posibles soluciones para aquellos con más conocimientos matemáticos podemos destacar las relacionadas con interpolación numérica y con algoritmos de programación (que seguramente contienen un código basado en interpolación numérica), pero que escapan al nivel al que se presentan estos retos. Usando interpolación numérica podemos encontrar una justificación (más bien fórmula en este caso) para cualquier valor que continúe la sucesión. Así que, de nuevo, la respuesta al reto era ¡cualquiera!
¡Fijaos que cantidad de justificaciones para una misma sucesión de números! ¡Ya podían haber elegido estos números para la secuencia de Lost (Perdidos)!4
Existen otras justificaciones para esta sucesión y sobre las cuales podemos encontrar, en la actualidad, artículos de investigación, por lo que están fuera del nivel al que se plantean estos retos pero que no quiero dejar de mencionar. Entre otras:
- Son números primarios semiperfectos. N es un número primario semiperfecto si satisface la condición de fracción egipcia:
donde la suma es solamente sobre los factores primos de 
- Los multiplicadores que mencionamos anteriormente (2, 3, 7, 43, 1807, 3.263.443, …) pertenecen a la sucesión de Sylvester. En este caso el siguiente término de la sucesión coincidiría con el primer resultado dado (3.263.442).
- También se pueden relacionar estos números con el falso pequeño teorema de Fermat y las variedades de Calabi-Yau.
¡Y todo esto atendiendo únicamente al aspecto matemático de las sucesiones! En relación con otras ramas del conocimiento, encontramos, por ejemplo, que el filósofo Ludwig Wittgenstein en sus obras Investigaciones filosóficas y Observaciones sobre los fundamentos de la matemática reflexionó de forma amplia y general sobre el problema de las diferentes continuaciones posibles de una sucesión, relacionándolo con la semántica, la lógica, la filosofía de las matemáticas y la filosofía de la mente. Todo ello abre un sinfín de conexiones muy interesantes de estudiar y que son tema de investigación en la actualidad.
En lo relacionado con la literatura y el cine encontramos obras que tratan sobre la impredecible lógica de los crímenes en serie, todas ellas muy recomendables:
- La muerte y la brújula de Jorge Luis Borges.
- Acerca de Roderer de Guillermo Martı́nez.
- Los crímenes de Oxford de Álex de la Iglesia.
Para concluir, una reflexión acerca de los test de inteligencia, especialmente sobre aquellos que incluyen sucesiones lógicas que hay que continuar en una casilla en blanco. Como acabamos de ver, la continuación de estas sucesiones no es única, y existen lógicas muy dispares, pero igualmente válidas, que arrojan resultados distintos. De esta forma, lo que se mide en este tipo de test es la adaptación de la persona evaluada a la continuación «esperable» en función de su edad, formación, entrenamiento previo, etc. En definitiva, evaluar la coincidencia o desviación respecto de la solución prevista a priori como correcta. Sin embargo, ¿no son precisamente los genios las personas con creatividad suficiente para encontrar respuestas que nadie esperaba a problemas ya resueltos o que aún están sin resolver?
Para ver este y otros retos podéis acudir al canal de la academia (Academia Barceló). En cuanto a las soluciones a los retos las podéis encontrar en la sección Redes de la página www.academiabarcelo.com.
¡Espero vuestras respuestas!
Notas:
1: El símbolo ! indica el factorial. Por ejemplo: 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.
2: Existen otras formas de hallar estos multiplicadores, pero expondremos únicamente esta.
3: En el sumatorio, n representa la posición del término correspondiente de la sucesión.
4: Los números 4, 8, 15, 16, 23 y 42 son uno de los temas recurrentes y más importantes de Lost.
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